Boîte de volume maximal

On dispose d'un carré en carton de 1 m de côté. Au niveau de chaque sommet, on découpe un carré de \(x\) m de côté, \(x\) étant un réel de l'intervalle \([0~;0{,}5]\). On plie le carton suivant les pointillés comme montré dans la figure ci-dessous. On forme ainsi une boîte ouverte.

1. À l'aide du fichier de géométrie dynamique ci-dessous, conjecturer la valeur de \(x\) qui maximise le volume de la boîte.
2. Calculer le volume \(\mathcal{V}\left(x\right)\) de la boîte en fonction de \(x\).
3. Déterminer la valeur de \(x\) qui permet d'obtenir le plus grand volume. Comparer ce résultat à conjecture émise à la question 1.

*Remerciements à Vincent Pantaloni, https://www.geogebra.org/u/pantaloni